Projet de portfolio actuariel | Master Actuariat, UCLouvain (2024)
Référence scientifique : Mahayni & Steuten, Review of Managerial Science, 2013
Ce projet implémente la tarification stochastique des rentes viagères différées (DLA — Deferred Life Annuities), produits d'assurance permettant une couverture ciblée du risque de grande longévité (âges 80+).
Une DLA ne verse des prestations qu'à partir d'un âge de déclenchement ω (typiquement 80 ou 85 ans). En échange d'une prime nettement inférieure à une rente viagère classique, l'assuré est protégé contre le risque de « survie au-delà de ses réserves » (longevity tail risk).
Comment tarifier une DLA en tenant compte simultanément de la stochasticité des taux d'intérêt et de la mortalité, et quels sont les effets combinés de ces deux sources de risque sur la prime ?
Ce projet répond à cette question en implémentant le cadre de Mahayni & Steuten (2013) : modèle affine conjoint (Vasicek) pour les taux et la mortalité, formules analytiques fermées, validation Monte Carlo, et analyse de sensibilité complète.
| Effet | Impact sur la prime DLA | Explication |
|---|---|---|
↑ Volatilité des taux σᵣ |
+3 à +8% | Convexité (inégalité de Jensen) |
↑ Volatilité mortalité σ_μ |
+1 à +4% | Incertitude sur la survie aux grands âges |
Corrélation ρ = −0.5 (adverse) |
+4 à +6% | Taux bas + mortalité haute simultanément |
ω = 85 vs ω = 80 |
Prime réduite de 40% | Sélection plus forte par survie |
| DLA vs rente immédiate | Prime réduite de 60 à 80% | Couverture ciblée uniquement 80+ |
La modélisation stochastique conjointe révèle une prime sous-estimée de 5 à 15% par rapport au cadre déterministe classique.
dla-longevity-pricing/
│
├── notebooks/ # Notebooks Jupyter (fil conducteur)
│ ├── 01_modelisation_mortalite.ipynb # Lee-Carter, CBD, Vasicek-μ
│ ├── 02_modelisation_taux_interet.ipynb # Vasicek-r, CIR, calibration BCE
│ ├── 03_tarification_deterministe.ipynb # DLA(x,ω), grille tarifaire
│ ├── 04_tarification_stochastique.ipynb # Monte Carlo, effets combinés ★
│ ├── 05_modele_conjoint_correlation.ipynb # Corrélation ρ approfondie
│ ├── 06_analyse_sensibilite_resultats.ipynb # Wang transform, conclusions
│ └── 07_solvabilite2_scr.ipynb # Best Estimate, SCR (Solv. II)
│
├── src/ # Modules Python réutilisables
│ ├── mortalite.py # Modèles de mortalité stochastique
│ ├── taux.py # Modèles de taux d'intérêt
│ ├── tarification.py # Valorisation DLA (det. et sto.)
│ ├── simulation.py # Moteur Monte Carlo
│ └── solvabilite2.py # Calcul SCR et Best Estimate
│
├── data/
│ ├── mortality/ # Tables MR/MC (IABE) ou HMD
│ └── rates/ # Courbes BCE OIS/swap
│
├── figures/ # Graphiques exportés
├── reports/ # Rapport PDF / synthèse
├── requirements.txt
└── README.md
- Construction des tables MR/MC belges (Gompertz-Makeham)
- Modèle de Lee-Carter : estimation SVD, dynamique de κₜ, projection 35 ans
- Modèle de Cairns-Blake-Dowd : logit(q), facteurs bivariés (κ¹, κ²)
- Modèle affine continu (Vasicek) : formule fermée p̃(t,T) = exp(A−B·μₜ)
- Validation analytique vs Monte Carlo, comparaison des trois modèles
- Calibration sur la courbe BCE OIS (janvier 2024)
- Modèle de Vasicek : prix ZC analytiques, duration modifiée
- Modèle CIR : taux positifs garantis (condition de Feller)
- Simulation Euler-Maruyama, analyse de sensibilité des prix ZC
- Duration de la DLA vs rente immédiate : amplification par le différé
- Dérivation de DLA(x, ω) = Σ vᵏ · ₖpₓ en temps discret et continu
- Validation de la décomposition : DLA = ₐEₓ · äω (pure endowment × rente)
- Grille tarifaire complète : x ∈ {50,55,60,65}, ω ∈ {75,80,85}, MR/MC
- Prime périodique annuelle, sensibilité au taux technique
- Moteur de simulation conjoint (rₜ, μₜ) avec corrélation ρ (décomposition de Cholesky)
- Variables antithétiques : réduction de variance d'un facteur ×2 à ×4
- Validation analytique (formule affine vs Monte Carlo)
- Effets combinés : σᵣ (convexité), σ_μ (incertitude longévité), ρ (corrélation)
- Distribution de la valeur DLA, VaR 95%, TVaR 95%
- Approfondissement de la structure de corrélation
- Copules (Gaussienne, Clayton) pour la dépendance queue
- Transformation de Wang (prime de risque longévité systématique)
- Transformation d'Esscher
- Stratégies de couverture : duration matching, swaps de longévité
- Best Estimate (courbe EIOPA sans risque)
- SCR Longévité (choc −20% sur mortalité projetée)
- SCR Taux d'intérêt, agrégation des SCR
# Cloner le dépôt
git clone https://github.com/<ton-pseudo>/dla-longevity-pricing.git
cd dla-longevity-pricing
# Créer un environnement virtuel
python -m venv .venv
source .venv/bin/activate # Linux/Mac
.venv\Scripts\activate # Windows
# Installer les dépendances
pip install -r requirements.txt
# Lancer les notebooks
jupyter notebook notebooks/numpy >= 1.24
scipy >= 1.10
pandas >= 2.0
matplotlib >= 3.7
seaborn >= 0.12
jupyter >= 1.0
Sous la mesure risque-neutre Q et avec indépendance (ρ = 0) :
V₀^DLA = ∫_{ω−x}^{T_max} B(0,s) · p̃(0,s) ds
où :
B(0,T) = exp(Aᵣ(T) − Bᵣ(T)·r₀)— prix ZC (Vasicek taux)p̃(0,T) = exp(A_μ(T) − B_μ(T)·μ₀)— survie stochastique (Vasicek mortalité)
Avec corrélation ρ ≠ 0, un terme de correction croisée apparaît (NB05).
drₜ = κ(θ − rₜ)dt + σᵣ dWₜʳ
dμₜ = a(μ̄ − μₜ)dt + σ_μ dWₜᵘ avec dWʳ·dWᵘ = ρ dt
Les deux processus de type Vasicek permettent des formules fermées via le théorème de Duffie-Kan pour les processus affines.
Mahayni, A. & Steuten, L. (2013).
Deferred life annuities: on the combined effects of stochastic mortality and interest rates.
Review of Managerial Science, 7(1), 1–28.
SIMO tchemo steve
Actuaire | Master Actuariat, UCLouvain (2024)
Spécialisation : tarification non-vie (P&C), modélisation stochastique, Solvabilité II