Was ein Blatt Papier erlaubt. Papier lässt sich biegen, aber nicht dehnen. Aus dieser einen Einschränkung folgt eine überraschend strenge Geometrie — und ob sich ein Faltenmuster flach zusammenlegen lässt, kann man an den Winkeln ablesen.
- Ein Faltenstern mit vier, sechs oder acht Falten — mit der Kawasaki-Bedingung als Zahl und der Zahl der möglichen Berg-Tal-Zuordnungen
- Ein Grad daneben genügt: dasselbe Muster, minimal verstimmt, lässt sich auf keine Weise mehr flach legen
- Das Miura-Muster, flach und gefaltet, mit genau einem Freiheitsgrad und negativer Querdehnzahl
- Ein Papierstreifen, alle Faltungen erschöpfend gezählt
- Prüflauf — sieben Zeilen, darunter die Winkelbedingung in beide Richtungen
Kawasaki: Läuft man um den Faltpunkt herum, addiert jeden zweiten Sektorwinkel und zieht die dazwischen ab, muss null herauskommen — gleichbedeutend: beide Gruppen ergeben je 180°.
Maekawa: An einem flach gefalteten Punkt unterscheiden sich Bergfalten und Talfalten immer um genau zwei. Daraus folgt sofort, dass die Faltenzahl gerade sein muss.
Der Prüflauf glaubt keiner der beiden: Er legt das Papier wirklich zusammen, indem er alle Lagenfolgen durchprobiert und die verbotenen aussortiert.
| Stern | gültige Berg-Tal-Zuordnungen |
|---|---|
| vier Falten à 90° | 8 |
| vier Falten, ungleich | 6 |
| sechs Falten | 8 |
| acht Falten | 16 |
| dieselben vier Falten, 1° verstimmt | 0 |
| Behauptung | Ergebnis |
|---|---|
| die Winkelbedingung entscheidet — beide Richtungen | 115 gültige Sterne: alle faltbar · 105 verstimmte: keiner |
| Berge minus Täler ist immer ±2 | 936 gültige Zuordnungen · 0 Verletzungen · 200 ungerade Sterne, 0 faltbar |
| ein Streifen, alle Faltungen gezählt | 1 · 2 · 6 · 16 · 50 · 144 · 462 · 1392 — die bekannte Folge, Zeile für Zeile |
| beim Falten längt sich keine Kante | 15 580 Kanten und Diagonalen · größte Änderung 1,0·10⁻¹⁵ |
| ein einziger Freiheitsgrad | 152 Stellungen · gleicher Faltgrad, gleiche Form · beide Maße schrumpfen zugleich |
| wie viele Wege es gibt, denselben Stern zu falten | mindestens 4, höchstens 16 Zuordnungen je Stern |
| es ist egal, wo man zu zählen anfängt | 90 Sterne, an jeder Falte neu begonnen · 0 Abweichungen |
Die dritte Zeile ist der schönste Prüfstein: 1, 2, 6, 16, 50, 144, 462, 1392 — die Zahl der Arten, einen Streifen aus n Feldern zu einem Stapel zu falten. Sie ist seit 1968 bekannt und hier nicht abgeschrieben, sondern durch Aufzählen aller 40 320 Stapelreihenfolgen bei acht Feldern nachgezählt. Nur 3,5 % davon sind kreuzungsfrei.
Flach liegt es so: V(i,j) = (i·p, j·q + (i ungerade ? s : 0)) — Zickzacklinien in der einen
Richtung, gerade Linien in der anderen. Für den gefalteten Zustand genügt der Ansatz
V(i,j) = ( i·W , j·V + (i ungerade ? S : 0) , (j ungerade ? H : 0) )
und drei Forderungen, damit jedes Viereck starr bleibt:
Zickzackkante W² + S² = p² + s²
gerade Kante V² + H² = q²
Diagonale V · S = q · s
Drei Gleichungen, vier Unbekannte — genau ein Freiheitsgrad, ganz ohne Literatur. Daraus folgt auch die Querdehnzahl direkt: −S²/W², also immer negativ. Beim Zusammenschieben wird das Muster in beide Richtungen zugleich kleiner, und deshalb öffnet es sich mit einem einzigen Griff.
Meine eigenen Beispiele waren falsch — und der Prüflauf hat es gemeldet. Der erste Lauf sagte: 209 von 209 Sternen, die Kawasaki erfüllen, ließen sich nicht flach legen. Das sah nach einem kaputten Falt-Algorithmus aus. Es war aber auch einer da: Zwei Fehler zugleich, und der eine verdeckte den anderen. Die handgeschriebenen Beispiele „sechs Falten" und „acht Falten" hatten eine alternierende Winkelsumme von −60° bzw. −40° — ich hatte sie nach Augenmaß gewählt, ohne nachzurechnen. Sie waren schlicht nicht flach faltbar.
Der eigentliche Fehler war ein Denkfehler über das, was verboten ist. Meine erste Fassung prüfte, ob sich die Intervalle der Sektoren überlappen. Das ist Unsinn: In einer flachen Faltung liegen die Lagen ja gerade übereinander, Überlappung ist der Normalfall. Verboten sind zwei ganz andere Dinge — dass sich zwei Falten an derselben Stelle verschränken, und dass ein Sektor mitten durch eine geschlossene Falte hindurchgeht. Die neue Fassung stapelt deshalb die Lagen und leitet die Berg-Tal-Zuordnung aus der Lagenfolge ab, statt sie zu raten und zu prüfen.
Die Miura-Formeln aus dem Gedächtnis waren um 120 % daneben. Die Prüfzeile „beim Falten längt
sich keine Kante" meldete eine relative Längenänderung von 1,2 — also mehr als doppelte
Kantenlänge. Halb erinnerte Formeln mit tanα und sinθ an den richtig aussehenden Stellen
ergeben ein Muster, das prächtig aussieht und Papier zerreißen würde. Die Lösung war, nicht besser
zu erinnern, sondern selbst herzuleiten: Ansatz hinschreiben, drei Erhaltungsbedingungen
aufstellen, auflösen. Das Ergebnis ist kürzer als die Formel, die ich zu erinnern versuchte — und
die Prüfzeile steht jetzt bei 1,0·10⁻¹⁵.
Die Diagonale gehört in die Prüfung. Kantenlängen allein genügen nicht: Ein Viereck mit vier
richtigen Seiten kann sich trotzdem verwinden. Erst die Diagonale legt es fest. Genau diese
Bedingung liefert im Übrigen die dritte Gleichung V·S = q·s, aus der die ganze Faltung folgt.
Was das Blatt nicht kann: keine mehrfachen Faltpunkte im Zusammenspiel (globale Flach-Faltbarkeit ist NP-schwer, Bern und Hayes 1996 — für einen einzelnen Punkt ist es einfach, für ein ganzes Muster nicht), keine gekrümmten Faltlinien, keine Dicke des Materials (echtes Papier ist nicht null Millimeter dick, und für dicke Platten braucht es eigene Konstruktionen), kein Faltweg von flach nach gefaltet mit Kollisionsprüfung, keine Huzita-Hatori-Konstruktionen.
Eine einzelne HTML-Datei. Kein Build, keine Bibliothek, nichts verlässt den Browser. Lagenaufzählung mit Beschneidung, starre Faltung aus drei Erhaltungsgleichungen, Canvas 2D, hell und dunkel.
Alle Blätter nach Feld geordnet, jedes mit eigenem Repo: ssims437.github.io
MIT