Este documento describe la implementación en Python de un sistema dinámico no lineal modelado con una estructura tipo Hamiltoniana disipada, comúnmente utilizada en el análisis de sistemas eléctricos, especialmente en máquinas síncronas, convertidores de potencia, y microredes. La simulación nos permite observar la evolución temporal de variables de estado relevantes como la velocidad angular y el ángulo eléctrico.
Simular la evolución temporal de un sistema no lineal con estructura energética del tipo:
[ \dot{x} = (J - R) \nabla H(x) + u_{\text{ext}} ]
Donde:
- ( H(x) ) es una función de energía (Hamiltoniana),
- ( J ) es una matriz antisimétrica (interconexión),
- ( R ) es una matriz simétrica semidefinida positiva (disipación),
- ( u_{\text{ext}} ) representa entradas externas, como potencia mecánica.
Este modelo es útil para estudiar el comportamiento dinámico de generadores síncronos y convertidores conectados a la red, bajo perturbaciones o controladores no lineales.
El sistema tiene dos variables de estado:
- ( x_1 ): proporcional a la velocidad angular (relativa o en p.u.).
- ( x_2 ): ángulo eléctrico.
Se define la función gradiente de la energía como:
[ \nabla H(x) = \begin{bmatrix} \frac{\omega_{\text{base}}}{M} x_1 \ P_{\max} \sin(x_2) \end{bmatrix} ]
Donde:
- ( \omega_{\text{base}} = 2\pi \cdot 60 ) rad/s es la frecuencia base,
- ( M ) es el parámetro de inercia,
- ( P_{\max} ) representa la máxima potencia activa que puede transferirse,
- ( P_m ) es la potencia mecánica de entrada (fuente constante).
La matriz de interconexión y disipación:
[ J = \begin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad R = \begin{bmatrix} 0.3 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix} ]
Finalmente, la ecuación completa queda:
[ \dot{x} = (J - R) \nabla H(x) + \begin{bmatrix} 0 \ P_m \end{bmatrix} ]
Este sistema representa el modelo dinámico simplificado de una máquina síncrona con entrada mecánica constante y disipación en la velocidad.
La simulación se realiza sobre un intervalo equivalente a 100 ciclos de red (a 60 Hz):
nt = 100
t_span = (0.0, nt * (1/60))Se parte de una condición inicial:
x_ini = [0.9, 0.8]Y se integra el sistema utilizando el método de Runge-Kutta de orden 4-5 (RK45) de la función solve_ivp.
Se grafica la evolución de las variables de estado en el tiempo:
x₁(t)representa la dinámica de la velocidad angular.x₂(t)representa la evolución del ángulo eléctrico.
La figura muestra cómo el sistema evoluciona hacia una condición de equilibrio (si existe) o cómo se comporta bajo la influencia de la entrada constante y la disipación.
Este tipo de modelo es muy útil para:
- Estudiar la respuesta transitoria de un generador cuando se conecta a una carga o red.
- Diseñar controladores no lineales basados en energía, como control pasivo o control por interconexión y asignación de energía (IDA-PBC).
- Validar esquemas de sincronización o despacho en entornos simulados de microrredes o sistemas de generación distribuida.
Este ejemplo muestra cómo construir un sistema físico con estructura energética, modelarlo numéricamente y simular su comportamiento. Además de ser una excelente herramienta didáctica, permite avanzar hacia implementaciones más complejas, como modelos multi-máquina, controladores embebidos o validación experimental de estrategias de control.