关于 解析几何初步 椭圆 的一些奇技淫巧 - Hanatomizu | Secret Base

[Hanatomizu]

https://hanatomizu.github.io/blog/post/%E5%85%B3%E4%BA%8E-%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%88%9D%E6%AD%A5-%E6%A4%AD%E5%9C%86-%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%BA%9B%E5%A5%87%E6%8A%80%E6%B7%AB%E5%B7%A7/

本文章处于未完工状态（WIP）
规定 椭圆中 $a$ 为半长轴，$b$ 为半短轴，$c$ 为半焦距，满足 $a^2 = b^2 + c^2$ 椭圆方程为：$\displaystyle\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
斜线方程为：$f(x) = kx + m$
斜率的公式为：$\displaystyle k = \frac{y - y_1}{x - x_1}$
斜线与椭圆交于 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ 两点
结论 证明先放着
$$\displaystyle |AB| = \sqrt{1+k^2}|x_2 - x_1| = \sqrt{1 + \frac{1}{k^2}}|y_2 - y_1|$$
$$\displaystyle |x_2 - x_1| = \frac{\sqrt{ -4(-a^2b^2)(b^2+a^2k^2 - m^2) }}{|b^2 + a^2k^2|}$$
解题基本思路 通过斜线 $l_{AB}$, 联立方程 具体过程 联立椭圆方程和斜线方程
$$\displaystyle \begin{cases} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \newline y = kx + m \end{cases}$$ 椭圆方程同乘 $a^2b^2$ 得到
$$\displaystyle \begin{cases} b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2 \newline y = kx + m \end{cases}$$ 将 $y$ 带入
$$\displaystyle b^2x^2 + a^2(kx+m)^2 = a^2b^2$$